안녕하세요! 오늘은 기하학에서 중요한 개념 중 하나인 내접원에 대해 알아보겠습니다. 내접원은 다각형의 모든 변에 접하는 원으로, 그 중심을 내심이라고 부릅니다. 특히 삼각형과 정다각형에서는 항상 내접원이 존재한다는 점에서 매우 흥미로운 주제입니다. 이제 내접원과 내심의 정의와 성질에 대해 자세히 살펴보겠습니다.
내접원과 내심이란?
**내접원(內接圓, 영어: inscribed circle, incircle)**은 다각형의 모든 변에 접하는 원을 의미합니다. 내접원의 중심은 **내심(內心, 영어: incenter)**이라고 하며, 내심은 다각형의 각 변의 수직이등분선이 만나는 점입니다. 일반적인 다각형은 내접원을 가지지 않지만, 삼각형과 정다각형은 항상 내접원을 가지고 있습니다. 내심은 보통 II로 표기하며, 내접원의 반지름은 rr로 표기합니다.
내접원의 정의
내접원은 다각형의 모든 변에 접하는 원을 의미합니다. 내접원의 중심을 내심이라고 하며, 내접원을 가지는 다각형을 **외접 다각형(外接多角形, 영어: tangential polygon, circumscribed polygon)**이라고 합니다.
내접원의 성질
내접원을 가지는 다각형은 몇 가지 중요한 성질을 가지고 있습니다:
- 내접원은 다각형 내부에서 가장 큰 원입니다. 다각형 내부에 포함될 수 있는 원 중에서 내접원이 가장 큰 원입니다.
- 내심은 모든 내각 이등분선의 교점입니다. 즉, 다각형의 각 내각을 이등분하는 선들이 만나는 점이 내심입니다.
- 내심과 다각형의 모든 변 사이의 거리는 동일합니다. 이 거리는 내접원의 반지름과 동일합니다.
삼각형과 정다각형의 내접원
모든 삼각형과 정다각형은 내접원을 가집니다. 특히 정삼각형의 경우, 내심은 외심, 무게 중심, 수심과 일치합니다. 삼각형의 내심은 방심 삼각형의 수심입니다. 또한, 포이어바흐 정리에 따르면, 삼각형의 내접원과 세 방접원은 구점원과 접합니다.
예시: 삼각형의 내접원 계산
- 삼각형 ABC의 변의 길이가 a=7, b=8, c=9 인 경우, 내접원의 반지름을 계산해보겠습니다
이 삼각형의 내접원의 반지름을 계산해보겠습니다.
1. 반둘레 s를 계산합니다
2. 삼각형의 면적 A를 구합니다. 헤론의 공식을 사용하겠습니다
3.내접원의 반지름 을 계산합니다
따라서, 이 삼각형의 내접원의 반지름은 루트 5 입니다.
오늘은 내접원과 내심에 대해 알아보았습니다. 이 개념들은 기하학의 기본 요소로, 다양한 문제 해결에 활용됩니다.
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